Freges Sprachphilosophie

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Jan 202018
 

Will man sich heute mit der Sprachphilosophie von Gottlob Frege (1848 – 1925) beschäftigen, so ist dies ein philosophiegeschichtliches Thema. Zum einen hat Frege vor mehr als 100 Jahren gewirkt, zum anderen sind seine Arbeiten zur Logik und Sprachphilosophie heute kaum mehr von aktueller Relevanz. Wichtig und bemerkenswert daran sind die Grundlegungen und Anstöße, die weit über seine Zeit hinausgewiesen haben und die heutigen Darstellungen des Werkes von Frege beschäftigen. Bertrand Russell, Ludwig Wittgenstein, Rudolf Carnap haben sich auf Frege bezogen. Damit wird deutlich, dass seine Philosophie zu den Wegbereitern der analytischen Sprachphilosophie, der analytischen Philosophie überhaupt geworden ist. Das ist wohl auch der Grund dafür, dass Frege heute generell und zumal in manchen Hochburgen der deutschsprachigen analytischen Philosophie eine Art revival erlebt 1). Vielleicht ist das Motiv aber gleichwohl ein aktuelles. Der spätestens mit der ordinary language philosophy (Austin) in den 1950er Jahren und mit dem Strukturalismus überwunden geglaubte Logizismus der Sprachtheorie erwacht dank der Digitalisierung zu neuem Leben, wenn Sprache digital erfasst und in ein Kalkül übersetzt wird. Die logische Strukturierung à la Frege leistet dafür vielleicht Vorarbeit.

Programmatisch ist seine „Begriffsschrift“ von 1879 mit dem Untertitel: „Eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens“. Im Vorwort schreibt Frege:

„Das Erkennen einer wissenschaftlichen Wahrheit durchläuft in der Regel mehre Stufen der Sicherheit. Zuerst vielleicht aus einer ungenügenden Zahl von Einzelfällen errathen, wird der allgemeine Satz nach und nach sicherer befestigt, indem er durch Schlussketten mit andern Wahrheiten Verbindung erhält, sei es dass aus ihm Folgerungen abgeleitet werden, die auf andere Weise Bestätigung finden, sei es dass er umgekehrt als Folge schon feststehender Sätze erkannt wird. … Die festeste Beweisführung ist offenbar die rein Iogische, welche, von der besondern Beschaffenheit der Dinge absehend, sich allein auf die Gesetze gründet, auf denen alle Erkenntnis beruht. Wir theilen danach alle Wahrheiten, die einer Begründung bedürfen, in zwei Arten, indem der Beweis bei den einen rein logisch vorgehen kann, bei den andern sich auf Erfahrungsthatsachen stützen muss.“ 2)

Frege geht es in dieser Schrift um den ersten, ‚analytischen‘ Teil der Begründung wahrer Sätze.

„Damit sich hierbei nicht unbemerkt etwas Anschauliches eindrängen könnte, musste Alles auf die Lückenlosigkeit der Schlusskette ankommen. Indem ich diese Forderung auf das strengste zu erfüllen trachtete, fand ich ein Hindernis in der Unzulänglichkeit der Sprache, die bei aller entstehenden Schwerfälligkeit des Ausdruckes doch, je verwickelter die Beziehungen wurden, desto weniger die Genauigkeit erreichen liess, welche mein Zweck verlangte. Aus diesem Bedürfnisse ging der Gedanke der vorliegenden Begriffsschrift hervor. Sie soll also zunächst dazu dienen, die Bündigkeit einer Schlusskette auf die sicherste Weise zu prüfen und jede Voraussetzung, die sich unbemerkt einschleichen will, anzuzeigen, damit letztere auf ihren Ursprung untersucht werden könne. Deshalb ist auf den Ausdruck alles dessen verzichtet worden, was für die Schlussfolge ohne Bedeutung ist. Ich habe das, worauf allein es mir ankam, in § 3 als  begrifflichen Inhalt bezeichnet.“ [ebd.]

Frege nennt seine Formalisierung „ein für bestimmte wissenschaftliche Zwecke ersonnenes Hilfsmittel“, das sich auf die Arithmetik stützt und ihre Logik weiterführt und umbildet.

„Wenn es eine Aufgabe der Philosophie ist, die Herrschaft des Wortes über den menschlichen Geist zu brechen, indem sie die Täuschungen aufdeckt, die durch den Sprachgebrauch über die Beziehungen der Begriffe oft fast unvermeidlich entstehen, indem sie den Gedanken von demjenigen befreit, womit ihn allein die Beschaffenheit des sprachlichen Ausdrucksmittels behaftet, so wird meine Begriffsschrift, für diese Zwecke weiter ausgebildet, den Philosophen ein brauchbares Werkzeug werden können. … Schon das Erfinden dieser Begriffsschrift hat die Logik, wie mir scheint, gefördert.“ [a.a.O. S. XII f.]

Die ausführlichen Zitate zeigen das gewisse Pathos Freges bei seinem grundsätzlichen und weitreichenden Anspruch, auf dem Weg der wissenschaftlichen Wahrheitsfindung durch die Anwendung logischer Regeln und Gesetze weiterzukommen. Sie bringen aber auch das Leiden an der Unzulänglichkeit und Beschränkung der Sprache zum Ausdruck, deren Unklarheit sich immer wieder als Hindernis und Anlass zur Verwirrung herausstelle. Diese Klage Freges zieht sich durch alle seine logischen Schriften. Gerade darum möchte er sich in der Formalisierung der Begriffsschrift von der Nähe zur natürlichen Sprache und zur Grammatik lösen. Dem dient auch seine Ersetzung der Begriffe ‚Subjekt‘ und ‚Prädikat‘ durch ‚Argument‘ und ‚Funktion‘. Er erfindet einen eigenen Satz von Formeln und Zeichen, die sich zwar nicht durchgesetzt haben, sondern von der Peano-Russell-Notation ersetzt wurden, die aber eine in sich schlüssige Axiomatisierung seiner Logik (Erstformulierung einer mehrstufigen Prädikatenlogik) ermöglichten und Vorbild wurden für alle Nachfolger in moderner formaler Logik. Ob es ihm allerdings gelang, die „Herrschaft des Wortes über den menschlichen Geist zu brechen“, steht auf einem anderen Blatt.

In seiner Schrift „Funktion und Begriff“ von 1891, die auf einem Vortrag beruht, führt Frege die genaue Bestimmung und Unterscheidung von ‚Begriff‘, ‚Funktion‘, ‚Gegenstand‘ und „Wert“ bzw. „Wertverlauf“ durch. Einige aus dem Zusammenhang herausgegriffene Zitate aus dem Text als Beispiel für den O-Ton Frege:

„Ein Begriff ist eine Funktion, deren Wert immer ein Wahrheitswert ist. –
Wir können als Begriffsumfang den Wertverlauf einer Funktion bezeichnen, deren Wert für jedes Argument ein Wahrheitswert ist. Die sprachliche Form der Gleichungen ist ein Behauptungssatz. Ein solcher enthält als Sinn einen Gedanken – oder macht wenigstens Anspruch darauf, einen zu enthalten –; und dieser Gedanke ist im allgemeinen wahr oder falsch. –
Gegenstand ist alles, was nicht Funktion ist, dessen Ausdruck also keine leere Stelle mit sich führt. –
Wertverläufe von Funktionen sind Gegenstände, während Funktionen selbst es nicht sind. Auch Begriffsumfänge sind also Gegenstände, obwohl die Begriffe selbst es nicht sind. –
Für die Begriffe haben wir hierin die Forderung, daß sie für jedes Argument einen Wahrheitswert als Wert haben, daß für jeden Gegenstand bestimmt sei, ob er unter den Begriff falle oder nicht; mit anderen Worten: wir haben für Begriffe die Forderung ihrer scharfen Begrenzung, ohne deren Erfüllung es unmöglich wäre, logische Gesetze von ihnen aufzustellen. –
Wie nun Funktionen von Gegenständen grundverschieden sind, so sind auch Funktionen, deren Argumente Funktionen sind und sein müssen, grundverschieden von Funktionen, deren Argumente Gegenstände sind und nichts anderes sein können. Diese nenne ich Funktionen erster, jene Funktionen zweiter Stufe.“ 3)

Was Frege hier, wenngleich in schriftlicher Fassung überarbeitet, als Vortragstext seinem Publikum, der Jenaischen Gesellschaft für Medizin und Naturwissenschaft, zugemutet hat, muss schon erstaunen. Es wird vielleicht daraus verständlich, warum Frege zu Lebzeiten eine größere Resonanz auch auf dem wissenschaftlichen Parkett verwehrt blieb. Damit ist allerdings über die inhaltliche Bedeutung und formale Stringenz seiner Argumentation noch nichts gesagt, das müsste eine genauere Darstellung seiner Schrift ergeben, was hier nicht zu leisten ist. Wer von heutiger moderner Logik ausgeht, wird die wegweisenden Formulierungen bei Frege anerkennen.

Gottlob Frege

Gottlob Frege – Büste in Wismar

Freges bekannteste und wirkungsgeschichtlich vielleicht bedeutendste Schrift ist die „Über Sinn und Bedeutung“ 4). Seine Unterscheidung von ‚Sinn‘ und ‚Bedeutung‘ ist ein locus classicus: „Es liegt nun nahe, mit einem Zeichen (Namen, Wortverbindung, Schriftzeichen) außer dem Bezeichneten, was die Bedeutung des Zeichens heißen möge, noch das verbunden zu denken, was ich den Sinn des Zeichens nennen möchte, worin die Art des Gegebenseins enthalten ist.“[24] In seinem oft verwendeten Beispiel „Abendstern“ und „Morgenstern“ ist zwar die Bedeutung dieselbe, nämlich der Planet Venus, aber der Sinn, die Art des Gegebenseins ist verschieden. Sinn und Bedeutung in Freges Gebrauch sind wohl miteinander verknüpft, aber nicht jeder Sinn hat auch eine Bedeutung, wie zum Beispiel in der Poesie, und die zugehörigen Ausdrücke (Zeichen) können verschieden sein: „Die regelmäßige Verknüpfung zwischen dem Zeichen, dessen Sinn und dessen Bedeutung ist derart, daß dem Zeichen ein bestimmter Sinn und diesem wieder eine bestimmte Bedeutung entspricht, während zu einer Bedeutung (einem Gegenstande) nicht nur ein Zeichen zugehört.“ [25] In einem gegebenen Zusammenhang sollte aber dasselbe Wort stets denselben Sinn haben. Von der Bedeutung und dem Sinn eines Zeichens unterscheidet Frege ferner die (subjektive) Vorstellung von einem sinnlich wahrgenommenen Gegenstand mittels der Anschauung. Aber auch die Kunst bedient sich der Vorstellung, wenn sie „Färbungen und Beleuchtungen“ ausdrücken möchte [28]. Die skeptisch erhobene Frage, ob denn ein bestimmtes Wort tatsächlich eine Bedeutung habe, weist Frege mit dem Hinweis ab, dass es nur auf die „Absicht beim Sprechen oder Denken“ hinsichtlich der Bedeutung ankomme ungeachtet dessen, ob sie bzw. der Gegenstand wirklich vorhanden ist oder nicht [28f.].

Im zweiten, größeren Teil der Arbeit befasst sich Frege mit dem Satz und mit Satzverbindungen. Ein Behauptungssatz enthält einen Gedanken. Der Gedanke ist nun aber nicht die Bedeutung des Satzes, sondern sein Sinn. Dennoch kommt es gerade auf die Bedeutung eines Satzes oder Satzteiles und den in ihm enthaltenen Gedanken an: „Der Gedanke verliert für uns an Wert, sobald wir erkennen, daß zu einem seiner Teile die Bedeutung fehlt.“ Das Streben nach Wahrheit in der Wissenschaft sei es, das nach der Bedeutung fragt. Entscheidend ist die Wahrheit oder Falschheit eines Gedankens, also sein Wahrheitswert. „So werden wir dazu gedrängt, den Wahrheitswert eines Satzes als seine Bedeutung anzuerkennen.“ [30] Der Wahrheitswert ist ein Gegenstand nach Frege und drückt den „Schritt von der Stufe der Gedanken zur Stufe der Bedeutungen (des Objektiven)“ aus. So versteht er auch das Urteilen als Fortschreiten des Gedankens zu seinem Wahrheitswert. Gleiche Wahrheitswerte sind aber austauschbar, sodass der Wahrheitswert eines Satzes unverändert bleibt, wenn man einen Ausdruck durch einen gleichbedeutenden ersetzt. Das kann aber bei Satzkonstruktionen aus Haupt- und Nebensatz kompliziert werden, und so prüft nun Frege an allen erdenklichen Arten von Nebensätzen nach, wie sich Bedeutungen der Satzteile im ganzen Satz auf seinen Wahrheitswert auswirken. Eine besondere Rolle spielen dabei die Nebensätze in ungerader, also indirekter Rede (sagen, glauben, meinen, dass…), weil ihre Bedeutung kein Wahrheitswert, sondern ein Gedanke ist. Ferner liegen die Dinge anders, wenn der Nebensatz keinen vollständigen Gedanken enthält, sondern auf den Gedanken des Hauptsatzes verweist oder einen unbestimmten Bestandteil hat oder einen gemeinsamen Bestandteil in Form eines Eigennamens enthält (Der ein Philosoph in Athen war, starb…). Entscheidend ist immer, ob und wann man Teilsätze durch andere mit demselben Wahrheitswert ersetzen kann, ohne dass sich der Wahrheitswert des Ganzen ändert. Die Austauschbarkeit der Wahrheitswerte gerät aber nach Frege besonders dort an ihre Grenze, wo unausgesprochene  „Nebengedanken“ hinzutreten: „wir hätten dann mehr einfache Gedanken als Sätze“ [43]. Genau dies kommt aber in der gesprochenen Sprache sehr häufig vor, so dass die Ersetzung desselben Wahrheitswertes nur in genau umgrenzten und wohl bestimmten Zusammenhängen möglich ist. Durch Nebengedanken und Färbungen wird die Sprache zwar reicher, sagt Frege, aber eben auch unklarer [42]. Hier gerät auch Freges analytische Sprachlogik an ihre Grenze, wenn er bedauernd feststellt: „Es ist schwer, alle in der Sprache gegebenen Möglichkeiten zu erschöpfen.“ [45]

In den „Ausführungen über Sinn und Bedeutung“ 5) klärt Frege genauer das Verhältnis zwischen ‚Eigennamen‘ und ‚Begriffswörtern‘ in Hinsicht auf ‚Sinn‘ und ‚Bedeutung‘. Frege führt dazu aus:

„Jedem Begriffsworte oder Eigennamen entspricht in der Regel ein Sinn und eine Bedeutung, so wie ich diese Wörter gebrauche. In der Dichtung haben die Wörter freilich nur einen Sinn, aber in der Wissenschaft und überall, wo uns die Frage nach der Wahrheit beschäftigt, wollen wir uns nicht mit dem Sinne begnügen, sondern auch eine Bedeutung mit den Eigennamen und Begriffswörtern verbinden; und wenn wir es etwa aus Versehen doch nicht tun, so ist das ein Fehler, der leicht unser Nachdenken zuschanden machen kann. Die Bedeutung eines Eigennamens ist der Gegenstand, den er bezeichnet oder benennt. Ein Begriffswort bedeutet einen Begriff, wenn das Wort so gebraucht wird, wie es in der Logik zweckmässig ist. Um dies zu erklären, erinnere ich an einen Umstand, der sehr zugunsten der Logiker des Umfangs gegen die des Inhalts zu sprechen scheint, dass nämlich, unbeschadet der Wahrheit, in jedem Satze Begriffswörter einander vertreten können, wenn ihnen derselbe Begriffsumfang entspricht, dass also auch in Beziehung auf das Schliessen und für die logischen Gesetze Begriffe nur insofern sich verschieden verhalten, als ihre Umfänge verschieden sind. Die logische Grundbeziehung ist die des Fallens eines Gegenstandes unter einen Begriff: auf sie lassen sich alle Beziehungen zwischen Begriffen zurückführen. Indem ein Gegenstand unter einen Begriff fällt, fällt er unter alle Begriffe desselben Umfangs, woraus das Gesagte folgt. Wie also Eigennamen desselben Gegenstandes unbeschadet der Wahrheit einander vertreten können, so gilt dasselbe auch von Begriffswörtern, wenn der Begriffsumfang derselbe ist. Freilich wird sich bei solchen Ersetzungen der Gedanke ändern; dieser aber ist der Sinn des Satzes, nicht dessen Bedeutung. Diese aber, nämlich der Wahrheitswert, bleibt ungeändert.“ [128]

Bei der Anwendung seiner Definition, den ‚Begriff‘ als ‚Funktion‘ zu verstehen 6), stößt Frege auf die Schwierigkeit der „prädikativen Natur“ des Begriffs, nämlich dass ein Begriffswort erst zusammen mit einem Eigennamen eine Bedeutung und damit einen Wahrheitswert erhält. Ist er ‚wahr‘, folgt das Urteil, dass der als Argument gewählte Gegenstand unter den Begriff fällt. Diese Differenzierung zwischen funktionalem Begriffswort und Eigennamen / Gegenstand als Argument macht den Ausdruck ‚Begriff‘ unklar.

„Dies Wesen des Begriffes ist nun ein grosses Hindernis für den sachgemässen Ausdruck und für die Verständigung. Wenn ich von einem Begriffe reden will, zwingt mir die Sprache mit kaum entrinnbarer Gewalt einen unpassenden Ausdruck auf, wodurch der Gedanke verdunkelt – fast könnte ich sagen verfälscht – wird. …
Aus dem Gesagten geht hervor, dass Gegenstände und Begriffe grundverschieden sind und einander nicht vertreten können. Das gilt auch von den entsprechenden Wörtern oder Zeichen. Eigennamen können nicht wirklich als Prädikat gebraucht werden. Wo es etwa so scheint, lehrt die genauere Betrachtung, dass sie dem Sinne nach nur ein Teil des Prädikates sind: Begriffe können nicht in denselben Beziehungen stehen wie Gegenstände.“ [130]

Genau um diese Schwierigkeit geht es Frege im Fortgang dieses  Aufsatzes. Er entwickelt darin in sehr komprimierten Gedanken eine extensionale Logik 7) gegen den „Inhaltslogiker“, der nur beim ‚Sinn‘ stehenbleibe, ohne zur Bedeutung und damit zur Frage nach dem Wahrheitswert zu gelangen. Voller Emphase stellt Frege fest:

„Wenn es einem auf die Wahrheit ankommt- und auf die Wahrheit zielt die Logik hin – muss man auch nach den Bedeutungen fragen, muss man Eigennamen verwerfen, welche keinen Gegenstand bezeichnen oder benennen, wiewohl sie einen Sinn haben mögen; muss man Begriffswörter verwerfen, die keine Bedeutung haben. Das sind nicht etwa solche, die Widersprechendes vereinigen – denn ein Begriff kann recht wohl leer sein – sondern solche, bei denen die Umgrenzung verschwommen ist. Es muss von jedem Gegenstand bestimmt sein, ob er unter den Begriff falle oder nicht; ein Begriffswort, welches dieser Anforderung an seine Bedeutung nicht genügt, ist bedeutungslos. [133] Und der Dichtung genügt der Sinn, der Gedanke auch ohne Bedeutung, ohne Wahrheitswert, aber nicht der Wissenschaft.“ [134]

Das Zitat macht deutlich, wie sehr Frege dem Impetus der Wahrheitssuche folgt. Das Streben nach Wahrheit und der Trennung des Wahren vom Falschen macht für ihn das Wesen der Wissenschaft aus. Dem dienen alle Formalismen, Definitionen, Abgrenzungen, Präzisierungen, dem allein dient auch seine Insistieren auf Eindeutigkeit und Klarheit, demgemäß auf der Logik und ihren Gesetzen. Sie allein verbürgen für Frege vernünftiges, inhaltsvolles Denken und damit mehr und mehr Erkenntnis der Wahrheit, wie sie in Sätzen und Gedanken der Wissenschaft formuliert werden kann. Genau auf diesem Hintergrund wird verständlich, warum ihn der logische Widerspruch, ausgedrückt in der Russellschen Antinomie , völlig aus der Bahn warf. Frege hatte von Russell selbst in einem Brief davon Kenntnis erhalten. Er sah dadurch die „Grundlagen meines Baues erschüttert“. Auch sein Programm einer Begründung der Mathematik auf reiner Logik (→ Logiszismus), genauer der Rückführung der Sätze der Arithmetik auf logische Wahrheiten, wie er es in seiner Schrift „Die Grundlagen der Arithmetik. Eine logisch mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl“ (1884) unternommen hatte, war von diesem Verdikt betroffen. Frege zog sich zurück und wurde auch von den akademischen Zeitgenossen weithin ignoriert. Er veröffentlichte erst Jahrzehnte später wieder einige Schriften, die aber zu seinen Lebzeiten kaum Widerhall fanden. 8)

Eine vergleichbare Themenverschiebung von der logischen Sprachkritik zur ‚Philosophie der normalen Sprache‘ („Sprachspiele“) findet man in der Entwicklung Ludwig Wittgensteins, wenn man den frühen Wittgenstein des „Tractatus“ mit dem späteren der „Philosophischen Untersuchungen“ vergleicht 9). Das Programm des Logizismus verbindet sich ab den dreißiger Jahren des vorigen Jahrhunderts vor allem mit Rudolf Carnap („Logische Syntax der Sprache“, 1934), aber auch er wandte sich in seinen späteren Werken dem Aufbau unterschiedlicher logischer Systeme zu; manche rechnen ihn nun zum Behaviorismus. – Eine ganz eigene Richtung der Sprachphilosophie findet sich dann in den unterschiedlichen Entwürfen des Strukturalismus und Poststrukturalismus. Es sind dies vielleicht die eher indirekten Erben Gottlob Freges. Seine Arbeiten zur Logik der Sprache und zur Mathematik (Arithmetik) schlugen frühzeitig (wissenschaftsgeschichtlich gesehen vielleicht ‚vor‘ ihrer Zeit) Themen an, welche die Philosophie des 20. Jahrhunderts durchweg bestimmten. Frege begann noch voller Enthusiasmus und Zuversicht, der wissenschaftlichen Erkenntnis der Wahrheit in Form von wahren Sätzen durch eine eindeutig bestimmte und widerspruchsfreie axiomatische Logik ein zuverlässiges Gerüst zu geben. Russells Antinomie war ein erster Schlag gegen dieses Konzept, die Unvollständigkeitssätze Gödels (1931) erlebte er nicht mehr. Diese zeigten die Grenzen formaler Systeme auf, indem erstens in einem hinreichend starken formalen System wie der Arithmetik es Aussagen gibt, die nicht beweisbar sind (Unvollständigkeit) und dass zweitens in hinreichend starken widerspruchsfreien Systemen die Widerspruchsfreiheit nicht beweisbar und damit Hilberts Programm des Aufbaus einer widerspruchsfreien Mathematik nicht lösbar ist 10). Insofern hat Frege eine Entwicklung mit angestoßen, deren Tragweite und Fruchtbarkeit er erhofft, aber kaum wirklich übersehen hat, deren Probleme, Grenzen und Abhängigkeit von jeweiligen Rahmenbedingungen und Interpretationen er nur ansatzweise wissenschaftlich und biografisch erfahren hat. Für die Geschichte der modernen Philosophie, insbesondere in ihrem analytisch verfahrenden Zweig, ist die Bedeutung Gottlob Freges kaum hoch genug einzuschätzen.

 

Bleibt noch ein Blick auf die Sprachphilosophie insgesamt. Im angelsächsischen Bereich wird darunter nahezu ausschließlich die analytische Sprachphilosophie verstanden 11). Im europäischen Raum sind die Hermeneutik und der (Post-) Strukturalismus bedeutsamer gewesen. Sprache und Macht (Diskurstheorie, Michel Foucault), herrschaftsfreier Dialog (Theorie kommunikativen Handelns, Jürgen Habermas), antimetaphysische, gesellschaftliche Dekonstruktion (Schrift und Differenz, Jacques Derrida) nehmen sowohl psychologische (Lacan) als auch existenzphilosophische (Martin Heidegger) Traditionen auf. Sprachphilosophie im Umfeld von Entwürfen sozialen Handelns, gesellschaftlicher Kommunikation oder metaphysischer Ontologien reicht also sehr viel weiter als der auf Logik und analytische Philosophie beschränkte Ausschnitt. Das relativiert die Bedeutung Freges, weist ihm aber innerhalb einer bestimmten Entwicklungslinie der Sprachphilosophie eine besondere Bedeutung zu. Wieweit in der Nachfolge Freges die Anwendung logischer Systeme und aktueller Sprachtheorien im Blick auf eine Logik der digitalisierten Sprache 12) fruchtbar gemacht werden kann, bleibt ein spannendes Thema. 13)

Reinhart Gruhn


Anmerkungen

1) So ist Freges Sprachphilosophie Thema eines Graduierten-Seminars an der Uni Bielefeld. – Seine wichtigsten sprachphilosophischen Schriften hat Günther Patzig 1962 herausgegeben. Sie wurden 2008 neu aufgelegt: Gottlob Frege, Funktion – Begriff – Bedeutung. Fünf logische Studien, Textausgabe TB V&R 2008 [zurück]

2) Gottlob Frege, Begriffsschrift und andere Aufsätze. Mit E. Husserls und H. Scholz‘ Anmerkungen, herausgegeben von Ignacio Angelelli, 1993 (4. Nachdruck der 2. Auflage 1964), S. X [zurück]

3) zitiert nach dem Abdruck von „Funktion und Begriff“ in der Taschenbuch-Ausgabe (1), S. 2 – 22. [zurück]

4) Über Sinn und Bedeutung, in: Ztschr. f. Philos. u. philos. Kritik, NF 100, 1892, S. 25–50, heute auch in der unter 1) genannten Textausgabe. Bei Zitaten beziehe ich mich auf die Seitenzahlen in diesem Taschenbuch. [zurück]

5) Ausführungen über Sinn und Bedeutung. 1892 /1895, in: Frege, G., Nachgelassene Schriften. Unter Mitwirkung von Gottfried Gabriel und Walburga Rödding bearbeitet, eingeleitet und mit Anmerkungen versehen von Hans Hermes, Friedrich Kambartel, Friedrich Kaulbach. Zweite, revidierte Auflage. Hamburg 1983, 128–136. [zurück]

6) siehe „Funktion und Begriff“ im Taschenbuch unter 1). [zurück]

7) „Was zwei Begriffswörter bedeuten, ist dann und nur dann dasselbe, wenn die zugehörigen Begriffsumfänge zusammenfallen“ a.a.O. S. 133 [zurück]

8) Einen ersten Überblick gibt der Wikipedia-Artikel zu Gottlob Frege (besser der englische Artikel). Er soll ein recht unfreundlicher, antisemitisch und nationalistisch eingestellter Zeitgenosse gewesen sein. – Unter den Artikeln findet man eine gute Auswahl weiterführender Literatur vor allem der Gegenwart und Weblinks. [zurück]

9) Die Interpretationen des Werkes Wittgensteins sind uferlos und hoch umstritten. Fast jede kurze Kennzeichnung sticht in ein Wespennest und zieht sich den Vorwurf der Fehlinterpretation zu. Überblick im Wikipedia-Artikel zu Wittgenstein. [zurück]

10) Die Unvollständigkeitssätze Kurt Gödels und ihre Rezeption gehören zu den Meilensteinen der modernen Philosophiegeschichte ebenso wie zur Geschichte der Mathematik. Heute wird eher auf die begrenzte Bedeutung der Gödelschen Sätze hingewiesen, die dem Aufbau widerspruchsfreier logischer bzw. mathematischer Systeme nicht im Wege stehen müssen. [zurück]

11) Diese Einschränkung räumt zum Beispiel die US-amerikanische Internet Encyclopedia of Philosophy bei ihrem Artikel zu ‚Philosophy of Language‘ ausdrücklich ein. [zurück]

12) Hierbei ist zuerst an die Logik der Programmiersprachen zu denken, dann aber auch an die Umsetzung und Erkennung natürlicher Sprache in bzw. durch digitale Systeme. [zurück]

13) Nachtrag: Knapp und präzise ist die Darstellung der Sprachphilosophie Freges in heutiger Begrifflichkeit in: Johannes Hübner, Einführung in die theoretische Philosophie, 2015, S. 96 – 112 [zurück]


Hier geht es zur Fassung als e-book (PDF):

Freges Sprachphilosophie

Zahlen – Kosmos

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Mrz 052016
 

Die Konforme Zyklische Kosmologie (Roger Penrose) erstellt das physikalische Modell einer unendlichen Folge von Weltzeitaltern. Die Zahlen und Formeln der Mathematik beschreiben unseren Kosmos auf erstaunliche Weise.

Wenn ein Mathematiker und Physiker wie Roger Penrose Erkenntnisse und Theorien zur Kosmologie vorstellen und erklären will, kann es nicht ohne Mathematik geschehen. Auch ein Buch, das an die interessierte Öffentlichkeit gerichtet ist, entbehrt nicht eines erheblichen Maßes an Abstraktion. Dennoch ist sein Thema eine gute Ergänzung, vielleicht sogar ein Beispiel für die Überlegungen, die im vorigen Beitrag über Zahlen – Spiele dargestellt wurden. An den kosmologischen Theorien zeigt sich sehr deutlich die physikalische Tragweite und die spekulative Grenze oder auch das Eigenleben mathematischer Modelle und Schlussfolgerungen.

Penrose stellt im Kontext aktueller kosmologischer Theorien einen eigenen Entwurf vor, dessen Kernthese schon im Titel seines Buches „Zyklen der Zeit“ (2013) enthalten ist. Er entwickelt darin das Modell einer „konformen zyklischen Kosmologie“ (CCC). Knapp zusammengefasst besagt es, dass unser derzeitiges „Weltzeitalter“ mit einer „Urknall“-Singularität begonnen hat und nach einer expansiven Phase in einer finalen Singularität enden wird. Darin gehen durch eine konforme Skalierung der masselosen Felder des Raumes all seine Freiheitsgrade (Informationen) verloren: Der Zustand höchster Entropie wechselt in einen Zustand geringster Entropie. Aus der endgültigen Singularität kommt ein neuer ‚Big Bang‘ mit dem Anfang eines neuen Weltzeitalters heraus. Desgleichen kann für den Anfang unseres derzeitigen Weltzeitalters ein vorhergehender Zustand eines zuende gegangenen Weltzeitalters vor unserem Weltzeitalter angenommen werden. Der Teilchenhorizont im Phasenraum trifft die Unendlichkeit einer Singularität, die quasi alles wieder auf Null  stellt. Die Zyklen der Weltzeitalter sind unbegrenzt, wobei die physikalischen ‚Randbedingungen‘, also die Naturkonstanten, von Weltzeitalter zu Weltzeitalter durchaus differieren können. Klingt faszinierend, aber was unterscheidet dieses theoretische Modell von purer Spekulation?

Temperaturschwankungen in der Hintergrundstrahlung, aufgenommen durch den Satelliten COBE (Mission 1989–1993) The COBE datasets were developed by the NASA Goddard Space Flight Center under the guidance of the COBE Science Working Group. - http://lambda.gsfc.nasa.gov/product/cobe/dmr_image.cfmhttp://lambda.gsfc.nasa.gov/product/cobe/cobe_images/cmb_fluctuations_big.gif, Gemeinfrei, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=34992487

Temperaturschwankungen in der Hintergrundstrahlung, aufgenommen durch den Satelliten COBE (Mission 1989–1993) – The COBE datasets were developed by the NASA Goddard Space Flight Center under the guidance of the COBE Science Working Group. –  CC Wikimedia

Penrose geht streng mathematisch vor und überprüft seine einzelnen Schritte anhand der bekannten Naturgesetze (Relativitätstheorie, Quantenfeldtheorie, kosmologisches Standardmodell) und der empirischen Daten. Eine besondere Rolle spielt dabei der Zweite Hauptsatz der Thermodynamik (Zunahme der Entropie) einerseits und die Kosmische Hintergrundstrahlung (CMB) andererseits. Seit ihrer Entdeckung 1964 durch Arno Penzias und Robert Woodrow Wilson gilt die CMB gewissermaßen als ‚Fingerabdruck‘ des Urknalls und der frühen inflationären Phase. Insofern ist die Auswertung der von COBE gelieferten Daten und ihre Interpretation grundlegend für jedes neuere kosmologische Modell. Die Interpretation geschieht dann auf dem Hintergrund mathematischer Modelle des Gesamtgeschehens bei der Entstehung unseres Kosmos. Dabei spielt für Penrose der Zweite Hauptsatz über die Zunahme der Entropie eine entscheidende Rolle. Im Unterschied zu vielen populären Darstellungen widerspricht Penrose der Auffassung, die Entropie sei durch ihre Unumkehrbarkeit der Grund für die Unumkehrbarkeit des Zeitpfeils oder gar die Ursache der Zeit. Der Zweite Hauptsatz ist zwar bisher empirisch gut gesichert, aber Abweichungen und Ausnahmen sind durchaus denkbar, ohne dass dadurch auch die Zeit ‚umkehrt‘. Penrose möchte aber gerade von der Gültigkeit des Zweiten Hauptsatzes auch jenseits von Singularitäten ausgehen. Er bedient sich dazu der Boltzmann-Formel für den mathematischen Wert der Entropie, in der das Volumen des „vergröberten Bereichs“ im Phasenraum als einzige Veränderliche eingeht. Dies ermöglicht es ihm, den Wert der Entropie als Freiheitsgrade der Ruhemasse im Raum dazustellen. Wenn in der End-Singularität alle Masse in einem reinen masselosen Feld verschwunden ist, verschwinden auch die Freiheitsgrade – die Entropie fällt auf ihren minimalen Wert zurück. Das ist der ‚Trick‘ in dem CCC – Modell von Penrose. Die in der CMB-Strahlung erkennbaren Schwankungen (‚Fluktuationen‘) interpretiert er daraufhin als ‚Markierungen‘ aus der finalen Expansion des vorigen Weltzeitalters. Er verlegt also die im Standardmodell enthaltene frühe inflationäre Phase unseres Kosmos (bis zur letzten Streuung) vor den ‚Urknall‘ als extreme Expansion und Zerstrahlung („Verpuffung“) der Schwarzen Löcher (Hawking-Strahlung) des vorher gehenden Weltzeitalters und betrachtet somit den ‚Big Bang‘ in einer klassischen Zeitentwicklung.

All dies kann Penrose mathematisch darstellen und begründen. Natürlich bleibt es ein Modell, das auf Plausibilität und, so weit es geht, auf empirische Befunde und sodann auf überprüfbare Voraussagen angewiesen ist. Bezeichnend sind aber wiederkehrende Formulierungen wie diese: „Müssen wir wirklich an diese abschließende Verpuffung glauben?“ (a.a.O. S. 212). und öfter „wir müssen dabei bedenken…“, „wir müssen berücksichtigen…“, was sich stets auf in ihren Auswirkungen unsichere Faktoren bezieht. So betrachtet er die heutige Quantenmechanik als eine „provisorische Theorie“ (a.a.O. S. 221). Wie weit reichen also die heutigen mathematischen Modelle tatsächlich? Wie kann Penrose es plausibel machen, dass sein CCC – Modell der konformen zyklischen Kosmologien der Realität tatsächlich angemessen entspricht? Und wiederum: Wie verhalten sich also Mathematik und Empirie zueinander? Bisweilen scheint es bei Penrose so zu sein, dass ein erwünschtes ‚einfaches‘ oder elegantes Modell auch Änderungen in der mathematischen Modellierung und Ausformulierung bewirkt, dass es also eine faktische ‚Wechselwirkung‘ zwischen Mathematik und physikalischer Theoriebildung gibt. Die Grenze dessen, worüber man zwar spekulieren, was man aber nicht mehr naturwissenschaftlich begründen kann, ist nahe. Was ist Zahl, was ist Natur, – was ist Realität und was ein dazu passendes Denkmodell? Wie weit reicht tatsächlich die Mathematik in ihren Forderungen an und Folgerungen für die physikalische Wirklichkeit?

Hinzu kommt ein weiterer Aspekt. Unsere Weltzeit mit den gegebenen Naturkonstanten zeichnet sich dadurch aus, Leben hervor gebracht zu haben. Penrose bleibt gegenüber dem ‚anthropischen Prinzip‘ skeptisch, weil sich darin eine naturwissenschaftlich schwer erträgliche Zielbestimmung (Teleologie) verbergen könnte. Tatsächlich aber sind die Naturkonstanten unserer ‚Weltzeit‘, so wie sie sind (z.B. die tatsächlichen Massen von Hadronen, die atomare Besonderheit von Kohlenstoff usw.) Voraussetzungen für die Entstehung von Leben, so wie wir es kennen. Hat diese Erkenntnis irgendeinen Einfluss auf die Beschreibung unseres derzeitigen Weltzeitalters, die Plausibilität des CCC – Modells einmal vorausgesetzt? Denn welche Rolle spielt darin der erkennende und sich ein Bild von sich und der Welt machende Mensch, sei er Physiker, Mathematiker oder Philosoph? Damit sind wir wieder bei sehr ähnlichen Fragestellungen, wie sie sich schon im vorigen Beitrag über Natur und Zahl ergeben haben. Penrose lässt den Leser quasi dem theoretischen Physiker und Mathematiker bei der Theoriebildung über die Schulter sehen, beteiligt ihn an seinem abwägenden Gedankengang. Es bleibt aber ein ‚Rechnen‘ und ‚Wägen‘, die Urteilsbildung liegt beim Leser bzw. beim wissenschaftlichen Gesprächspartner. Und das bedeutet, dass eine ganze Menge von subjektiven Faktoren und Geistesblitzen eine Rolle spielen. ‚Hard facts‘ and a ’soft mind‘! Wie Penrose am Ende schreibt:

„In jedem Fall haben die Beobachtungen [CMB] etwas Aufregendes, und es steht zu hoffen, dass sich die Dinge in nicht allzu ferner Zukunft lösen lassen und damit die Bedeutung der konformen zyklischen Kosmologie für die Physik eindeutig geklärt wird.“ (a.a.O. S 264)

Feb 262016
 

Die steril gewordene Diskussion um die Analytische Philosophie des Geistes bekommt neue Aktualität aus einer veränderten Perspektive. Es ist die Perspektive einer Philosophie der Mathematik. Die ontologische Frage, was Natur und Zahl eigentlich verbindet, erweist sich als äußerst fruchtbar und kreativ.

Manch einer, der des Streites über ‚Materie‘ und ‚Geist‘, über analytische oder hermeneutische ‚Metaphysik‘, über Naturalismus und / oder Idealismus überdrüssig ist, könnte versucht sein, seine Zuflucht in der Mathematik zu suchen. Die Mathematik steht bei den klassischen Philosophen (Platon, Aristoteles, Pythagoras) ebenso hoch im Kurs wie bei Naturalisten und analytischen Philosophen, und uneinig ist man sich bei Letzteren allenfalls in der Bewertung der Logik bezogen auf die Mathematik: ob etwa alle Mathematik in der Logik ihre Basis habe oder ob die theoretische Mathematik ein eigenständiges ontologisches Feld bearbeitet, – aber welches? Es geht in ihr um Zahlen, um Messen, um Mengen. Was sind eigentlich Zahlen? Wie verhalten sich Zählen (Analysis) und Messen (Geometrie) zueinander? Und was tragen dann noch die Mengen aus, vor allem, wenn es interessant werden soll, die unendlichen Mengen? Wieweit ist die Mathematik überhaupt auf Anschaulichkeit und natürliche Referenzen angewiesen, also auf „Konstruierbarkeit“ ihrer Theoreme? Wie steht es mit der Axiomatik, ohne die keine mathematische Theoriebildung möglich ist? Und die letzte, vielleicht wichtigste Frage: Wie verhalten sich Mathematik und Empirie zueinander, wie ‚Zahl‘ und ‚Natur‘? Immerhin, so lesen wir bei Galileo Galilei, sei das Buch der Natur in der Sprache der Mathematik geschrieben, und die Ergebnisse der experimentellen Physik lassen sich ohne die mathematischen Kalküle gar nicht beschreiben geschweige denn verstehen. Ein Naturgesetz wird durch eine Gleichung, einen Algorithmus fassbar. Die Mathematik ist für die Naturwissenschaft unerlässlich – gilt dasselbe auch umgekehrt? Oder reichen mathematische Gegenstände und Begriffe womöglich weit über den Bereich materieller Referenzen hinaus? Wir befinden uns damit bei den Fragestellungen einer Philosophie der Mathematik. Man darf vermuten, dass es darin nicht gerade einfacher wird.

Es ist das Verdienst von Bernulf Kanitscheider, umfassend in die aktuellen Fragestellungen der Philosophie der Mathematik einzuführen: Natur und Zahl. Die Mathematisierbarkeit der Welt, 2013. Kanitscheider ist ‚bekennender‘ analytischer Philosoph, und jede Metaphysik, erst recht eine idealistische wie die Hegels, ist ihm ein Gräuel. Metaphysische ebenso wie theologische Aussagen sind für ihn, wissenschaftlich betrachtet, reine Phantasma über einen „gespensterhaften“ Gegenstandsbereich. Gelegentlich erinnern seine polemischen Bemerkungen an Richard Dawkins. Man sollte sich nicht daran stören, denn er bietet eine sehr breit ausgeführte Darstellung der Diskussion um die Hintergründe und ‚Randbedingungen‘ mathematischer Entwürfe. Sein Ansatz in der Antike bewährt sich in erstaunlichen Aktualisierungen in der Gegenwart. Er stimmt dem analytisch-philosophischen Programm einer durchgängigen Naturalisierung der wissenschaftlichen Welt uneingeschränkt zu. Sein Wunsch wäre es, auch die Mathematik, ihre Gegenstände und Theoreme, physisch zu ’naturalisieren‘. Wenn Kanitscheider dann aber die erheblichen Probleme benennt, die einem solchen Vorhaben entgegen stehen, und sich selber auf einer gemäßigt aristotelischen Position wiederfindet, deren Abgrenzung zu einem platonisierenden ‚Realismus‘ der Mathematik ihm sichtlich schwer fällt, dann ist das für die Sache der philosophischen Mathematik überaus aufschlussreich.

Die immer wiederkehrende und in unterschiedlichen Entwürfen hin und her gewendete Frage lautet: Sind Zahlen etwas ontologisch Reales, oder sind es nur Zeichen, Benennungen für physisch reale Gegenstände? Sind also bei dem Satz: „Das sind 3 Äpfel.“ nur die Äpfel real und die „3“ eine rein gedankliche Benennung, oder ist die Zahl 3 eine eigenständige Entität? Wir sehen sofort, dies ist die alte Streitfrage zwischen Realismus und Nominalismus (übrigens ein metaphysisches Problem). Es kehren noch sehr viele andere alte Fragen wieder: Ist die Zahlenwelt ein eigenes Reich wie das Reich der platonischen Ideen, oder sind die Zahlen bzw. die mathematischen Relationen so etwas wie die der Materie aufgeprägten Strukturen, also das, was Aristoteles die Form nannte, die der Substanz erst konkrete Gegenständlichkeit verleiht? Im Hintergrund steht die bereits bei den Vorsokratikern gestellte Frage, wie es kommt, das die erkennbare Welt irgendwie ‚zahlenförmig‘ ist, oder neuzeitlicher gefragt, woher es kommt, dass sich die Phänomene der Natur nicht nur erstaunlich gut mit mathematischen Formeln beschreiben lassen, sondern dass mittels mathematisch formulierter Naturgesetze genaue Voraussagen über physische Prozesse möglich sind? Warum passen ‚Zahl‘ und ‚Natur‘ so gut zusammen, so dass Galilei die Mathematik als die „Sprache der Natur“ bezeichnet hat?

Galileis Beschreibung der Jupiter-Monde By Sage Ross - Own work, CC BY-SA 3.0, https://commons.wikimedia.org/w/index.php?curid=8619404

Galileis Arbeits-Instrumente By Sage Ross – Own work, CC BY-SA 3.0

Man hat das Problem noch nicht ganz erfasst, so lange man meint, dies sei doch eigentlich ganz klar, die Mathematik habe sich eben als abstrakte Sprachform zur Beschreibung natürlicher Prozesse bewährt, und wer mehr daraus mache, betreibe halt unnütze Spekulation, – eine praktisch-nominalistische Position. Der Punkt ist aber der, dass mathematische Axiomatiken eine eigene Welt darstellen mit eigenen Regeln und Randbedingungen, mit Schlussfolgerungen und Auswirkungen, die zwar Entsprechungen in der physischen Welt haben können, aber es nicht haben müssen. Im Streit um Cantors Unendlichkeiten wird gerade von Empiristen auf der Unsinnigkeit des physisch Unendlichen bestanden, und darum werden mathematisch unendliche Extensionen verworfen, mit scherwiegenden Folgen für das Verständnis empirischer Daten. Bei der Frage der Stetigkeit diskreter Entitäten und ihrem Verhältnis zum Kontinuum kehrt dieselbe Frage in anderer Form wieder: Was hat es mit der Eigendynamik (um nicht zu sagen Eigenlogik) mathematischer Theoriebildung auf sich, die eben nicht nur subjektiv-mentalistisch aufgeklärt, sondern als objektive abstrakte Gegebenheit kommuniziert werden kann? Völlig abstrakte mathematische Formen und Strukturen haben zwar immer wieder dazu verholfen, physikalische Prozesse zu verstehen und aus Ableitungen heraus Neues zu entdecken (z.B. Higgs-Boson), aber diese mathematischen Strukturen und Axiomatiken gelten als „wahr“, wenn sie widerspruchsfrei und schlüssig sind unabhängig davon, ob das physikalisch nützlich und verifizierbar ist oder nicht. Offenbar ist der Bereich mathematischer Gegenstände noch weiter und offener und vielgestaltiger, als es bezüglich physischer Realisierungen jemals vorstellbar ist. Diese ‚Eigengesetzlichkeit‘ der Mathematik, die ungeheure Produktivität ihrer Axiomatiken und die Eigendynamik der abstrakten Gegenstände und ‚Gebilde‘ (Mandelbrot!) ist vielleicht das stärkste Argument gegen den in der sinnlichen Erfahrung gründenden Nominalismus, der weder mit unendlichen Mengen noch mit unendlichen Reihen, noch überhaupt mit dem aktual Unendlichen ontologisch etwas anzufangen weiß.

Darum neigen viele bekannte Mathematiker (Gödel, Cantor, Russell, sogar Quine mit einem „conditional platonism“) zum mathematischen Platonismus. Die Mathematik befasst sich demnach mit einem eigenständigen Seinsbereich abstrakter Entitäten. Dann taucht sofort die Frage nach der Verbindung dieser ontologischen Ebene mit der ontisch-physikalischen Welt auf (Übergangs- oder Verknüpfungsproblem): Wie können ‚ideale‘ Gegenstände einer mathematischen Ontologie Auswirkungen auf physikalisch- ‚reale‘ Prozesse haben, wie können sie damit überhaupt zusammen hängen, wenn eine kausal-materielle Verknüpfung per definitionem ausscheidet? Radikale Positionen lösen das Übergangsproblem mit einem radikalen Platonismus: Nur die abstrakte Welt der Formen und Strukturen ist wirklich, diese produziert aus sich heraus den Schein einer physikalischen Realität (M. Tegmark, siehe Kanitscheider a.a.O.), und solange wir uns nicht zum Licht der Mathematik erheben, starren wir nur auf die Schatten an der Wand dessen, was für den Alltagsmenschen die physische Welt ist. Hier trifft sich der konsequente Platonismus mit einem ‚virtuellen Realismus‘ oder Fiktionalismus, der unsere konkrete Welt als eine von vielen möglichen Simulationswelten innerhalb digital-ontologischer Theorien begreift. Dann taucht aber die Frage auf, wie man eine „Rettung der Phänomene“ ins Werk setzen kann, ob und wie man den Schein der Simulation durchbrechen kann – Hillary Putnams „brain in a vat“ lässt grüßen.

Wem das zu weit geht und wem angesichts der Viele-Welten-Theorien schwindelig wird (obwohl die Multiversen-Theorie die einzig plausible Erklärung für die Unableitbarkeit der Naturkonstanten liefert), findet dann, wie auch Kanitscheider es tut, einen gemäßigten Aristotelismus für nahe liegend und praktikabel. Die mathematischen Strukturen liegen als untrennbar prägende Formen den physisch-materiellen Gegenständen zugrunde. Die pure Substanz ist ein nicht existentes metaphysisches Unding. Das Elektron ist ohne seine es bestimmende Struktur (Masse, Ladung, Spin) – nichts. Gemäßigt ist dieser aristotelische Realismus deswegen zu nennen, weil er durchaus Raum lassen will für die mathematischen Formen, die ’noch‘ keine physische Realisierung gefunden haben, es aber der Möglichkeit nach könnten. Dieser modale Vorbehalt soll die produktive Weiterarbeit der theoretischen Mathematiker ermöglichen, die zum Beispiel noch den „Cantor der kleinsten Zahl“ hervorbringen müssten, also eine Theorie über die Unendlichkeiten im Kleinsten, die gewissermaßen den Gegenpol zu den überabzählbaren Unendlichkeiten im Größten bilden sollen (Kanitscheider). Überhaupt ist das Feld der mathematischen ‚Gebilde‘ nicht auszumessen und offenbar ebenfalls unendlich groß. Der menschliche Geist ist noch längst nicht an seine Grenzen gestoßen, durch neue mathematische Räume (Axiomatiken) hindurch zu neuen Strukturen und Welten vorzustoßen. Man sieht: Der Übergang von Aristoteles zum Platonismus in der Mathematik ist nur ein kleiner Schritt.

Noch ein anderer Schritt bietet sich freilich an. Wenn man all die referierten und wiederholt breit dargestellten Positionen und die Abwägungen von Für und Wider liest und nachvollzieht, fühlt man sich unmittelbar in den Diskussionen, Alternativen und Aporien der jahrzehntelangen Diskussion um die ‚philosophy of mind‘, die Philosophie des Geistes aus analytischer und nicht-analytischer Sicht, hinein versetzt. Das Problem der Emergenz und der Supervenienz, der Identität und Differenz physischer und mentaler Gegebenheiten, des Übergangs bzw. der Naturalisierung mentaler in neurologische Prozesse, der Reduzierbarkeit und der ontologischen Valenz begrifflicher Extensionen usw. – alles kehrt hier in leicht verändertem Gewand wieder. So scheinen die Fragestellungen einer Philosophie der Mathematik in einem besonderen Bereich der abstrakten Strukturen die Probleme der Philosophie des Geistes erneut zu thematisieren. Auch die Antworten der klassischen Philosophen sind wieder da in erstaunlicher ‚alter‘ Frische. Aber etwas ist doch anders: Die steril gewordene Diskussion um die Analytische Philosophie bekommt wieder neues Leben aus einer veränderten Perspektive – und diese Perspektive der Mathematik erweist sich als äußerst fruchtbar und kreativ, – das zeigen die vielen neueren Veröffentlichungen zum Thema. Klarer als in vielen Verästelungen der mentalen Philosophie des Geistes werden hier Grundfragen und Probleme der Erkenntnistheorie erkennbar und benennbar, die wohl noch lange virulent und nicht ohne weiteres lösbar sind. Am Beispiel der Mathematik und der ihr eigenen ‚Welten‘ und Axiomatiken, gerade auch ihrer immer wieder Staunen erregenden Fähigkeit, physikalische Gegebenheiten und Prozesse zu verstehen und aufzuklären, zeigt sich die produktive Weite und irgendwie auch die ‚Inkommensurabilität‘ des menschlichen Geistes. Selber durchaus mit einem endlichen Gehirn verbunden ist er in der Lage, Unendliches konsistent zu denken und Beziehungen und Strukturen zwischen abstrakten Entitäten in Gestalt mathematischer Formen und naturalistischen Wirklichkeitsbereichen herzustellen dergestalt, dass nicht einmal der Gedanke, diese abstrakte Welt bringe die konkrete erst hervor, als völlig abwegig erscheint. Zum Glück kann auch Kanitscheider seine metaphysische Aversion nicht durchhalten – er gibt sie quasi an der Haustür beim Betreten der philosophischen Mathematik ab. Die offene und neugierige Nachfrage nach den ontologischen Qualitäten, nach kreativer Produktivität, nach der realen Verankerung der ‚virtuellen‘ Strukturen in den Gebäuden der Mathematik macht dieses Nachdenken ungemein spannend und anregend. Die „geprägte Form“ (Goethe), die sich sowohl biologisch als auch algorithmisch weiter entwickelt, hat etwas Faszinierendes, auch wenn der Zusammenhang von Natur und Zahl letztlich rätselhaft bleibt. VielIeicht sollte auch Aristoteles‘ Gedanke einer Teleologie (causa finalis) nicht gleich als theistisch desavouiert abgetan werden, sondern als ‚bias‘, als innere Tendenz der Strukturen und Energien erneut bedacht werden. Es könnte sich als produktive Intuition erweisen, auch hier dem Anstoß der alten Philosophen aktuell nachzugehen. Es geht um mehr als nur um Zahlenspiele.